lunes, 25 de enero de 2010

Variedades lorentzianas y Relatividad Matemática

Por: Miguel Sánchez Caja (Departamento de Geometría y Topología de la UGR)

Esencialmente, la Geometría Euclidiana clásica describe nuestro espacio ordinario como un espacio afín (tridimensional) dotado de un producto escalar (definido positivo); dentro de un tal espacio, se pueden estudiar objetos como las curvas y superficies. Se remonta a la época de Gauss el hallazgo de dos importantes avances conceptuales: la distinción entre propiedades intrínsecas y extrínsecas de las superficies, y la existencia de Geometrías no Euclidianas. Estos conceptos se han desarrollado sistemáticamente a través de la noción de variedad riemanniana (un espacio topológico en el que cada punto está dotado intrínsecamente de un producto escalar euclidiano infinitesimal, el cual generaliza al producto escalar del plano tangente en cada punto de una superficie curvada). A principios del siglo XX, la Relatividad Especial de Einstein mostró que el espacio y el tiempo físicos pueden describirse (conjuntamente, macroscópicamente y en un primer orden de aproximación) introduciendo dos modificaciones en la Geometría Euclidiana clásica: añadir una dimensión más al espacio afín y redefinir al producto escalar como lorentziano, esto es, no degenerado con signatura (+,+,+.-). La Relatividad General mostró que el espaciotiempo físico a gran escala (cuando los campos gravitatorios no pueden considerarse uniformes) se halla curvado intrínsecamente y, por tanto, debe describirse mediante una variedad lorentziana, un objeto formalmente idéntico al riemanniano salvo en la signatura.

Mi investigación se centra principalmente en el estudio de las variedades lorentzianas, desde dos puntos de vista:

1. La perspectiva puramente geométrica, que analiza las similitudes y diferencias de los casos riemanniano y lorentziano. Por ejemplo, en Geometría Riemanniana las geodésicas son curvas con aceleración nula, y verifican propiedades variacionales muy interesantes. Así, las geodésicas se caracterizan como las únicas curvas que (localmente y salvo reparametrización) determinan el camino más corto entre cada dos puntos por los que pasan. Una de las consecuencias del teorema clásico de Hopf y Rinow [1] es la siguiente: si una variedad riemanniana conexa es completa (sus geodésicas se pueden extender indefinidamente), entonces es geodésicamente conexa (cualesquiera dos de sus puntos se pueden conectar mediante una geodésica). En Geometría Lorentziana sigue teniendo sentido definir las geodésicas como curvas con aceleración nula, pero sus propiedades variacionales son mucho más sutiles, y no existe ningún resultado general análogo al de Hopf-Rinow. Uno de mis trabajos sobre este tema [2] ha sido mostrar que, en una clase grande y notable de variedades lorentzianas, se siguen satisfaciendo las propiedades variacionales deseables para las geodésicas (deseables desde el punto de vista abstracto del análisis funcional, para el cual cada curva que conecta dos puntos prefijados se ve a su vez como un punto de una variedad de dimensión infinita). En particular, se demuestra que estas variedades siguen siendo geodésicamente conexas.

2.- La perspectiva de la Relatividad General, que sugiere nuevos conceptos geométricos y orienta la intuición sobre posibles resultados. Por ejemplo, un desiderátum en Relatividad General es que el espaciotiempo debiera de ser predecible a partir de: (i) un conjunto de ecuaciones diferenciales (digamos, la ecuación de Einstein), y (ii) sus condiciones iniciales, impuestas sobre una "hipersuperficie espacial de Cauchy" S (una variedad riemanniana tridimensional que viene a representar la totalidad del espacio en un instante de tiempo para algún observador apropiado). Para que esto ocurra, es natural suponer que el espaciotiempo físico verifique las siguientes dos condiciones, aparentemente poco restrictivas: (A) ser causal, esto es, que ninguna partícula (o señal) pueda viajar a su propio pasado, y (B) no contener singularidades "desnudas". Esto último significa la siguiente propiedad: si hubiera una singularidad, en el sentido de que apareciera o desapareciera súbitamente alguna partícula P del espaciotiempo (como ocurriría, p. ej., si existiera un Big Bang o un agujero negro, respectivamente), ello no podría ser visible para ningún observador (digamos, salvo que éste también apareciera o desapareciera singularmente, como nos ocurre a nosotros mismos con respecto al Big-Bang). Con un poco más de precisión, significa que ningún observador podría, respectivamente, hacer llegar partículas arbitrariamente próximas a la génesis de P, o ver salir partículas arbitrariamente próximas a su desaparición.

Las condiciones físicas (A) y (B) se pueden formular geométricamente de manera totalmente precisa, y un teorema clásico de Geroch [3] afirma que equivalen a la existencia de una "hipersuperficie topológica de Cauchy". Como en el caso de las hipersuperficies espaciales de Cauchy, las topológicas también vienen a representar la totalidad del espacio en un instante de tiempo para algún observador, pero sólo tienen aseguradas buenas propiedades matemáticas de continuidad (no de diferenciabilidad ni, por tanto, de verdadera "espacialidad" al carecer de una métrica riemanniana). Es parte de mi investigación [4] demostrar que (A) y (B) también implican la existencia de la ansiada hipersuperficie espacial de Cauchy S, así como asegurar que, en este caso, el espaciotiempo se puede desdoblar en una parte espacial y otra temporal (globalmente, aunque no de modo único).
Por supuesto, las dos perspectivas anteriores resultan complementarias. Así, el último resultado explicado es puramente geométrico, pero sus hipótesis habrían sido inimaginables sin la perspectiva relativista. Por otra parte, una vez obtenido el resultado, sus implicaciones revierten en beneficio de distintas partes de la Física Matemática. Para mí, esta complementariedad es uno de los aspectos más atractivos y excitantes de los temas que investigo.


La Gran Explosión (modelo esférico)


Agujero negro (representación del pozo de potencial y diagrama causal de Penrose)





Referencias

[1] Hopf, H., Rinow, W., Über den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche, Comment. Math. Helv. 3 (1931), 209-225.

[2] Candela, A. M.; Flores, J. L.; Sánchez, M.: Global hyperbolicity and Palais-Smale condition for action functionals in stationary spacetimes. Adv. Math. 218 (2008), no. 2, 515--536.

[3] Geroch R.P, The domain of dependence. J. Math. Phys. 11 (1970) 437-439.

[4] Bernal, A. N.; Sánchez, M. On smooth Cauchy hypersurfaces and Geroch's splitting theorem, Comm. Math. Phys. 243 (2003), no. 3, 461-470; ibidem: Smoothness of time functions and the metric splitting of globally hyperbolic spacetimes 257 (2005), no. 1, 43--50.

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Miguel Sánchez Caja es profesor del Departamento de Geometría y Topología de la U. Granada desde hace veinte años. A través de él, ha impartido docencia en Matemáticas, Físicas y otras especialidades de Ciencias. Ha escrito una cincuentena de artículos en revistas de investigación especializadas, y una veintena de otras publicaciones internacionales. Ha cooperado con múltiples investigadores, especialmente con los diecinueve coautores de sus trabajos, lo que le ha permitido no sólo disfrutar de su colaboración, sino también aprender de sus centros de investigación y países de origen. Pero, sin lugar a dudas, la cooperación más intensa la ha llevado a cabo con una licenciada en Letras, con quien comparte tres hijos varones.

5 comentarios:

  1. El espacio, por simple lógica, necesariamente tiene que ser: tridimensional e infinito. Para comprender que el espacio es infinito basta con apoyarnos en una ciencia: La filosofía y específicamente en la lógica, en el razonamiento lógico e imaginarnos cualquier posible límite o contorno del espacio y pensar que hay después de ese limite imaginario, la única respuesta posible es que hay más espacio, es decir hay más de lo mismo, o sea que no es posible un límite, que el espacio continua indefinidamente, eso es un axioma o una verdad que no requiere mas demostración, por que es tan obvia, tan clara y tan simple, que se justifica a si misma.
    El Universo es infinito y tridimensional, afirmar lo contrario es anticientífico, porque es ir contra lo aximático, de la lógica, y la lógica es también ciencia, porque la lógica es una parte de la filosofía y la filosofía es también ciencia.
    Por lo tanto, muy a pesar de los creyentes en cualquier otra teoría “científica” o de cualquier creencia filosófica o religiosa, que a veces hablan de que el espacio puede ser finito o que puede ser plano, curvo o bidimensional y doblado, entre otras ocurrencias, a todos ellos, respetuosamente los remitimos a los más elementales conceptos de la lógica y de la física para que traten de corregir sus erróneos conceptos. El espacio infinito y tridimensional es indeformable, no puede curvarse ni doblarse, ni contraerse, ni expandirse.
    La famosa observación del eclipse y de la estrella visible al lado y que debía estar en ese instante detrás del sol, no es la prueba reina de que la masa curva el espacio, sino que es la prueba de que la luz también es atraída por la gravedad, porque la luz, aunque no posee masa, si posee una equivalencia en masa proporcional a su energía. Pero de eso no se tenía claridad antes de Einstein y su genial fórmula: E=mc2.
    ¡¡ El genio me sabrá perdonar.!!! El mismo lo dijo: Masa y energía son dos presentaciones de la misma cosa.
    La gravedad interactúa con las fuerzas electromagnéticas, porque estas tienen su equivalencia en masa y en proporción a su energía. Y esa interacción será la base para unificar muy pronto la teoría cuántica con teoría de la gravedad de Newton debidamente actualizada. Y dejar de lado la errónea idea de que la gravedad es una ilusión o que es una fuerza imaginaria o que es un efecto del peralte del espacio plano deformado por la masa. Para que exista el efecto peralte en la trayectoria de un móvil tiene que existir la gravedad, para que la masa deforme o curve algo como el espacio tiene que haber una fuerza como el peso de esa masa. Muy pronto entenderemos que la gravedad es una fuerza tan real, como real es que en el espacio interestelar se entrecruzan e interactúan las fuerzas electromagnéticas que emiten los cuerpos materiales.
    Ver artículo completo en: Nueva Teoría Sobre El Universo.
    http://nuevateoriasobreeluniverso.blogspot.com/
    martinjaramilloperez@gmail.com

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  2. Respuesta a Martín Jaramillo (en dos comentarios seguidos)
    Siendo éste un blog sobre matemáticas, no voy a entrar en discusiones sobre la estructura del Universo: la veracidad lógica de las afirmaciones matemáticas son independientes de que uno las aplique correctamente o no a un modelo.

    Sin embargo, sí responderé al comentario, porque en él se apela a la lógica diciendo nada menos que lo siguiente: "El espacio, por simple lógica, necesariamente tiene que ser: tridimensional e infinito" ya que basta con "imaginarnos cualquier posible límite o contorno del espacio y pensar que hay después de ese limite imaginario, la única respuesta posible es que hay más espacio, es decir hay más de lo mismo, o sea que no es posible un límite, que el espacio continua indefinidamente".

    Estas afirmaciones tienen la misma talla que las que se hacían cuando la mayor parte de la gente pensaba que la Tierra era plana. Digamos, la Tierra debiera ser plana e infinita, ¿no bastaría acaso con imaginarnos su esferidad o finitud para comprender que un individuo que viajara a los confines de la Tierra caería irremisiblemente hacia abajo? ¿No es eso lo que nos diría "La filosofía y específicamente (...) la lógica"?

    Comprender que no hay un "arriba y abajo" absolutos en el Universo nos puede parecer hoy evidente (sabemos bien que no se siente nada extraño cuando uno se halla "cabeza abajo" en el hemisferio sur). Sin embargo, entender todo esto requería un ejercicio intelectual no pequeño hace unos siglos.

    De igual modo, Jaramillo parece ser incapaz de concebir que puedan existir conceptos lógicamente consistentes como, digamos, un "Universo finito pero ilimitado" o una "expansión del Universo", sin que esto quiera decir de ninguna manera, p. ej: "la materia ocupa una región limitada de un espacio vacío, y se expande en ese vacío". Desde luego, estas cosas no están en nuestra experiencia directa. Para entenderlas bien, lo necesario es, precisamente, tener un buen conocimiento de lógica y matemáticas.

    No voy a detallar estas cuestiones aquí: son sutiles y profundas, necesitan su maduración. Tal vez Jaramillo sólo haya aprendido sobre esto en sitios de divulgación, y es posible que en este caso haya advertido inconsistencias de fondo. Pero sí quiero remarcar que son algunas de las ideas que sugería en mi reseña inicial, las que permiten entender la consistencia de los conceptos relativistas. Concretamente, las siguientes: (1) la distinción entre propiedades intrínsecas y extrínsecas de las superficies (Teorema Egregium de Gauss), (2) la existencia de Geometrías no Euclídeas y (3) el concepto fundamental de "variedad riemanniana". Su estudio permite entender que un universo puede ser, por ejemplo, "espacialmente finito aunque no tenga límites", sin la más mínima inconsistencia lógica. Análogamente, los conceptos de espacio de Lorentz-Minkowski y variedad lorentziana permiten concebir interrelaciones profundas entre el espacio y el tiempo, lógicamente consistentes. (...sigo...)

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  3. ... continúo con el comentario.

    Cuando Jaramillo entienda bien estos conceptos, comprenderá que se han descubierto muchas más cosas de las que parece haber imaginado hasta ahora. Y entonces sí podremos discutir. Desde luego, no voy a negar que existan problemas filosóficos profundos en la Relatividad General, e incluso inconsistencias que traen de cabeza a físicos y filósofos desde hace mucho. Pero, obviamente, no es nada que se parezca a las afirmaciones de Jaramillo que entrecomillé al principio. Einstein ya tuvo que aguantar "argumentos" de ese tipo. Es comprensible que fuera así, porque él estaba ofreciendo una visión radicalmente nueva del universo físico, la cual necesitaba bastantes conocimientos previos que no eran usuales para los físicos de su época. Sin embargo, ya ha pasado un siglo desde desde esa época, ¡no volvamos a ella!

    En consecuencia, no voy a perder el tiempo con cuestiones que no se planteen con un fundamento. Como tampoco voy a tratar de convencer a nadie de que la Tierra no es plana, de que no debe considerarse que el Sol dé vueltas alrededor de ella, o de que Astrofísica y Astrología no son lo mismo.

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  4. La cita que hace el Prof. Miguel Sánchez respecto a lo expuesto por Martín Jaramillo me recuerda lo siguiente: "El razonamiento se hace por el sentimiento que nos produce en la mente la evidencia de la verdad, sin necesidad de norma o regla alguna" Jean Marie Duhamel, esto, a inicios del siglo XIX. Lo cierto es que en la actualidad trabajamos en función de lo siguiente: "El valor de una demostración, de un proceso argumentativo, no depende del gusto o sentimientos interiores de nadie, sino de que el argumento tenga una propiedad de validez universalmente comprobable", Giuseppe Peano. Es preciso por tanto que el señor Martin Jaramillo tenga el detalle de estudiar un poco más de Matemáticas para que pueda discutir con conocimiento de causa lo mostrado por el Prof. Miguel Sánchez.

    Tania Heredia

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  5. Si quieren conocer la demostración geométrica de que la velocidad no puede ser constante solicítenmela a: martinjaramilloperez@gmail.com

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