Por: Pedro Torres Villarroya (Departamento de Matemática Aplicada de la UGR)
La utilidad de las Matemáticas radica en su propia abstracción. Esta aparente paradoja deja de serlo si se considera que abstracción equivale a versatilidad. 1+1=2 sirve igual para manzanas que para átomos de helio. Esa es nuestra fuerza, así que no es buena idea hacer matemáticas "menos abstractas'', como a menudo se nos demanda. Por supuesto, sí es saludable dar ejemplos prácticos de aplicaciones en clase y buscar conexiones a nivel de investigación con otras áreas de conocimiento. Pero hay que tener paciencia, algo que hoy en día escasea, y dejar que los conocimientos matemáticos se desarrollen y asienten sin estar permanentemente cuestionando su utilidad.
Dicho esto, hay que admitir que la influencia de las Matemáticas en la sociedad viene dada fundamentalmente por su papel central en el llamado "método científico''. Lo ilustraré con un ejemplo. En 1920, Bose y Einstein pronosticaron que enfriando suficientemente una nube de bosones (por ejemplo helio o sodio), la mayoría de las partículas pasarían al nivel de mínima energía, agregándose y formando un nuevo estado de la materia. Los condensados de Bose-Einstein (BEC) serían los objetos más fríos conocidos, del orden de nanokelvins (10^-9 K) por encima del cero absoluto. Por supuesto, no es esperable encontrarlos en la naturaleza, pero de existir los BEC tendrían propiedades físicas (superfluidez, superconductividad, índice de refracción extremadamente alto) altamente interesantes y de potencial aplicación en Óptica No Lineal y Nanotecnología. Experimentalmente, las dificultades técnicas son considerables. La primera obtención experimental de un BEC tuvo que esperar 75 años, hasta que en 1995 Cornell y Wieman implementaron con éxito un experimento que les valió el premio Nobel. De esta forma, la predicción teórica de Bose-Einstein quedó validada experimentalmente.
Una vez formado un BEC, la pregunta natural es cómo evoluciona temporalmente. El modelo matemático para esta dinámica temporal es la ecuación de Gross-Pitaevskii, que es una ecuación de Schrödinger con término no lineal cúbico. En las referencias [1,2] hicimos algunas predicciones teóricas (resonancias y ondas periódicas) que han sido validadas experimentalmente en trabajos posteriores [3,4,5]. De esta forma, los matemáticos y físicos teóricos orientamos a los físicos experimentales sobre qué efectos hay que buscar y bajo qué condiciones físicas cabe esperar que aparezcan. A veces el proceso es el inverso: se observa experimentalmente un efecto que después se justifica teóricamente, para lo cual se estudian modelos ya existentes o se construyen nuevos modelos que incluyan el nuevo fenómeno observado.
Referencias
[1] J.J. Garcia-Ripoll, V.M. Pérez-García, P.Torres, Extended parametric resonances in nonlinear Schrödinger systems, Physical Review Letters 83 (9) (1999), 1715-1718.
[2] G.D. Montesinos, V.M. Pérez-García, P.J. Torres, Stabilization of solitons of the multidimensional nonlinear Schrödinger equation: Matter wave breathers, Physica D 191 (2004), 193-210.
[3] P. Engels, C. Atherton, and M. A. Hoefer, Observation of Faraday Waves in a Bose-Einstein Condensate, Phys. Rev. Lett. 98, 095301 (2007)
[4] G. Hechenblaikner, O. M. Maragò, E. Hodby, J. Arlt, S. Hopkins, and C. J. Foot, Observation of Harmonic Generation and Nonlinear Coupling in the Collective Dynamics of a Bose-Einstein Condensate, Phys. Rev. Lett. 85, 692 (2000).
[5] M. Centurion, M.A. Porter, Ye Pu, P. G. Kevrekidis, D. J. Frantzeskakis, Demetri Psaltis, Modulational instability in nonlinearity-managed optical media
Phys. Rev. A 75, 063804 (2007).
La utilidad de las Matemáticas radica en su propia abstracción. Esta aparente paradoja deja de serlo si se considera que abstracción equivale a versatilidad. 1+1=2 sirve igual para manzanas que para átomos de helio. Esa es nuestra fuerza, así que no es buena idea hacer matemáticas "menos abstractas'', como a menudo se nos demanda. Por supuesto, sí es saludable dar ejemplos prácticos de aplicaciones en clase y buscar conexiones a nivel de investigación con otras áreas de conocimiento. Pero hay que tener paciencia, algo que hoy en día escasea, y dejar que los conocimientos matemáticos se desarrollen y asienten sin estar permanentemente cuestionando su utilidad.
Dicho esto, hay que admitir que la influencia de las Matemáticas en la sociedad viene dada fundamentalmente por su papel central en el llamado "método científico''. Lo ilustraré con un ejemplo. En 1920, Bose y Einstein pronosticaron que enfriando suficientemente una nube de bosones (por ejemplo helio o sodio), la mayoría de las partículas pasarían al nivel de mínima energía, agregándose y formando un nuevo estado de la materia. Los condensados de Bose-Einstein (BEC) serían los objetos más fríos conocidos, del orden de nanokelvins (10^-9 K) por encima del cero absoluto. Por supuesto, no es esperable encontrarlos en la naturaleza, pero de existir los BEC tendrían propiedades físicas (superfluidez, superconductividad, índice de refracción extremadamente alto) altamente interesantes y de potencial aplicación en Óptica No Lineal y Nanotecnología. Experimentalmente, las dificultades técnicas son considerables. La primera obtención experimental de un BEC tuvo que esperar 75 años, hasta que en 1995 Cornell y Wieman implementaron con éxito un experimento que les valió el premio Nobel. De esta forma, la predicción teórica de Bose-Einstein quedó validada experimentalmente.
Una vez formado un BEC, la pregunta natural es cómo evoluciona temporalmente. El modelo matemático para esta dinámica temporal es la ecuación de Gross-Pitaevskii, que es una ecuación de Schrödinger con término no lineal cúbico. En las referencias [1,2] hicimos algunas predicciones teóricas (resonancias y ondas periódicas) que han sido validadas experimentalmente en trabajos posteriores [3,4,5]. De esta forma, los matemáticos y físicos teóricos orientamos a los físicos experimentales sobre qué efectos hay que buscar y bajo qué condiciones físicas cabe esperar que aparezcan. A veces el proceso es el inverso: se observa experimentalmente un efecto que después se justifica teóricamente, para lo cual se estudian modelos ya existentes o se construyen nuevos modelos que incluyan el nuevo fenómeno observado.
Referencias
[1] J.J. Garcia-Ripoll, V.M. Pérez-García, P.Torres, Extended parametric resonances in nonlinear Schrödinger systems, Physical Review Letters 83 (9) (1999), 1715-1718.
[2] G.D. Montesinos, V.M. Pérez-García, P.J. Torres, Stabilization of solitons of the multidimensional nonlinear Schrödinger equation: Matter wave breathers, Physica D 191 (2004), 193-210.
[3] P. Engels, C. Atherton, and M. A. Hoefer, Observation of Faraday Waves in a Bose-Einstein Condensate, Phys. Rev. Lett. 98, 095301 (2007)
[4] G. Hechenblaikner, O. M. Maragò, E. Hodby, J. Arlt, S. Hopkins, and C. J. Foot, Observation of Harmonic Generation and Nonlinear Coupling in the Collective Dynamics of a Bose-Einstein Condensate, Phys. Rev. Lett. 85, 692 (2000).
[5] M. Centurion, M.A. Porter, Ye Pu, P. G. Kevrekidis, D. J. Frantzeskakis, Demetri Psaltis, Modulational instability in nonlinearity-managed optical media
Phys. Rev. A 75, 063804 (2007).
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Pedro José Torres Villarroya se licenció en Matemáticas por la Universidad de Granada en 1993, obteniendo el título de doctor en 1998. Actualmente es Catedrático del Departamento de Matemática Aplicada y coordinador del Master en Física y Matemáticas FISYMAT. Su investigación se centra en la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales.
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