Por: Miguel Sánchez Caja (Departamento de Geometría y Topología de la UGR)
Esencialmente, la Geometría Euclidiana clásica describe nuestro espacio ordinario como un espacio afín (tridimensional) dotado de un producto escalar (definido positivo); dentro de un tal espacio, se pueden estudiar objetos como las curvas y superficies. Se remonta a la época de Gauss el hallazgo de dos importantes avances conceptuales: la distinción entre propiedades intrínsecas y extrínsecas de las superficies, y la existencia de Geometrías no Euclidianas. Estos conceptos se han desarrollado sistemáticamente a través de la noción de variedad riemanniana (un espacio topológico en el que cada punto está dotado intrínsecamente de un producto escalar euclidiano infinitesimal, el cual generaliza al producto escalar del plano tangente en cada punto de una superficie curvada). A principios del siglo XX, la Relatividad Especial de Einstein mostró que el espacio y el tiempo físicos pueden describirse (conjuntamente, macroscópicamente y en un primer orden de aproximación) introduciendo dos modificaciones en la Geometría Euclidiana clásica: añadir una dimensión más al espacio afín y redefinir al producto escalar como lorentziano, esto es, no degenerado con signatura (+,+,+.-). La Relatividad General mostró que el espaciotiempo físico a gran escala (cuando los campos gravitatorios no pueden considerarse uniformes) se halla curvado intrínsecamente y, por tanto, debe describirse mediante una variedad lorentziana, un objeto formalmente idéntico al riemanniano salvo en la signatura.
Mi investigación se centra principalmente en el estudio de las variedades lorentzianas, desde dos puntos de vista:
1. La perspectiva puramente geométrica, que analiza las similitudes y diferencias de los casos riemanniano y lorentziano. Por ejemplo, en Geometría Riemanniana las geodésicas son curvas con aceleración nula, y verifican propiedades variacionales muy interesantes. Así, las geodésicas se caracterizan como las únicas curvas que (localmente y salvo reparametrización) determinan el camino más corto entre cada dos puntos por los que pasan. Una de las consecuencias del teorema clásico de Hopf y Rinow [1] es la siguiente: si una variedad riemanniana conexa es completa (sus geodésicas se pueden extender indefinidamente), entonces es geodésicamente conexa (cualesquiera dos de sus puntos se pueden conectar mediante una geodésica). En Geometría Lorentziana sigue teniendo sentido definir las geodésicas como curvas con aceleración nula, pero sus propiedades variacionales son mucho más sutiles, y no existe ningún resultado general análogo al de Hopf-Rinow. Uno de mis trabajos sobre este tema [2] ha sido mostrar que, en una clase grande y notable de variedades lorentzianas, se siguen satisfaciendo las propiedades variacionales deseables para las geodésicas (deseables desde el punto de vista abstracto del análisis funcional, para el cual cada curva que conecta dos puntos prefijados se ve a su vez como un punto de una variedad de dimensión infinita). En particular, se demuestra que estas variedades siguen siendo geodésicamente conexas.
2.- La perspectiva de la Relatividad General, que sugiere nuevos conceptos geométricos y orienta la intuición sobre posibles resultados. Por ejemplo, un desiderátum en Relatividad General es que el espaciotiempo debiera de ser predecible a partir de: (i) un conjunto de ecuaciones diferenciales (digamos, la ecuación de Einstein), y (ii) sus condiciones iniciales, impuestas sobre una "hipersuperficie espacial de Cauchy" S (una variedad riemanniana tridimensional que viene a representar la totalidad del espacio en un instante de tiempo para algún observador apropiado). Para que esto ocurra, es natural suponer que el espaciotiempo físico verifique las siguientes dos condiciones, aparentemente poco restrictivas: (A) ser causal, esto es, que ninguna partícula (o señal) pueda viajar a su propio pasado, y (B) no contener singularidades "desnudas". Esto último significa la siguiente propiedad: si hubiera una singularidad, en el sentido de que apareciera o desapareciera súbitamente alguna partícula P del espaciotiempo (como ocurriría, p. ej., si existiera un Big Bang o un agujero negro, respectivamente), ello no podría ser visible para ningún observador (digamos, salvo que éste también apareciera o desapareciera singularmente, como nos ocurre a nosotros mismos con respecto al Big-Bang). Con un poco más de precisión, significa que ningún observador podría, respectivamente, hacer llegar partículas arbitrariamente próximas a la génesis de P, o ver salir partículas arbitrariamente próximas a su desaparición.
Las condiciones físicas (A) y (B) se pueden formular geométricamente de manera totalmente precisa, y un teorema clásico de Geroch [3] afirma que equivalen a la existencia de una "hipersuperficie topológica de Cauchy". Como en el caso de las hipersuperficies espaciales de Cauchy, las topológicas también vienen a representar la totalidad del espacio en un instante de tiempo para algún observador, pero sólo tienen aseguradas buenas propiedades matemáticas de continuidad (no de diferenciabilidad ni, por tanto, de verdadera "espacialidad" al carecer de una métrica riemanniana). Es parte de mi investigación [4] demostrar que (A) y (B) también implican la existencia de la ansiada hipersuperficie espacial de Cauchy S, así como asegurar que, en este caso, el espaciotiempo se puede desdoblar en una parte espacial y otra temporal (globalmente, aunque no de modo único).
Por supuesto, las dos perspectivas anteriores resultan complementarias. Así, el último resultado explicado es puramente geométrico, pero sus hipótesis habrían sido inimaginables sin la perspectiva relativista. Por otra parte, una vez obtenido el resultado, sus implicaciones revierten en beneficio de distintas partes de la Física Matemática. Para mí, esta complementariedad es uno de los aspectos más atractivos y excitantes de los temas que investigo.
La Gran Explosión (modelo esférico)
Agujero negro (representación del pozo de potencial y diagrama causal de Penrose)
Referencias
[1] Hopf, H., Rinow, W., Über den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche, Comment. Math. Helv. 3 (1931), 209-225.
[2] Candela, A. M.; Flores, J. L.; Sánchez, M.: Global hyperbolicity and Palais-Smale condition for action functionals in stationary spacetimes. Adv. Math. 218 (2008), no. 2, 515--536.
[3] Geroch R.P, The domain of dependence. J. Math. Phys. 11 (1970) 437-439.
[4] Bernal, A. N.; Sánchez, M. On smooth Cauchy hypersurfaces and Geroch's splitting theorem, Comm. Math. Phys. 243 (2003), no. 3, 461-470; ibidem: Smoothness of time functions and the metric splitting of globally hyperbolic spacetimes 257 (2005), no. 1, 43--50.
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Miguel Sánchez Caja es profesor del Departamento de Geometría y Topología de la U. Granada desde hace veinte años. A través de él, ha impartido docencia en Matemáticas, Físicas y otras especialidades de Ciencias. Ha escrito una cincuentena de artículos en revistas de investigación especializadas, y una veintena de otras publicaciones internacionales. Ha cooperado con múltiples investigadores, especialmente con los diecinueve coautores de sus trabajos, lo que le ha permitido no sólo disfrutar de su colaboración, sino también aprender de sus centros de investigación y países de origen. Pero, sin lugar a dudas, la cooperación más intensa la ha llevado a cabo con una licenciada en Letras, con quien comparte tres hijos varones.
Pedro José Torres Villarroya
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